波尔约

　　波尔约的父亲F．波尔约(Bolyai)21岁进哥丁根大学，是著名数学家C．F．高斯(Gauss)的同学和终身好友，1804—1853年一直是毛罗什瓦萨尔海伊(Marosvásárhely)福音学院颇有名望的数学、物理、化学教授．在几何基础方面，他特别注重欧氏平行公设的研究，其数学代表作《写给好学青年的数学原理》(Tentamen juventutem studiosam in elementa matheseos purae)试图建立一个坚实而系统的几何基础及算术、代数、分析的基础．波尔约的生母S．V．阿卡丝(Arkos)是一位外科医生的女儿，死于1821年；后母T．娜格(Nagy)是一位铁商的女儿．

　　波尔约在父亲指导下，少年时代就学习了微积分、分析力学等高深学科的基础知识．1818年考入维也纳帝国工程学院，在数学及其他学科上显示了天才，1822年毕业分配至军事部门，从事军事研究工作．1833年不幸遭车祸致残，他退役回到父亲家里，不久后母去世，两人在一起常有冲突，最后波尔约迁至偏僻的多马尔德(Domald)地区过着隐居式的生活．1834年，他与当地妇女R．V．娃本(Orbam)结婚，生有三个孩子，生活极端艰苦．1856年其父去世，同年他又与妻子中断了关系，晚年专心于文艺创作．他死于肺病，埋葬在奥匈帝国偏僻小镇毛罗什瓦萨尔海伊的墓地里．

　　波尔约是非欧几何创始者之一．1894年，匈牙利数学物理学会主持修复了他的墓地，并建造雕像，供人景仰．1905年，匈牙利科学院高度表彰了他的功绩，颁发了以他命名的国际数学奖，奖励那些为数学进展作出巨大贡献的人，著名数学家J．H．庞加莱(Poincaré)、D．希尔伯特(Hilbert)及物理学家 A．爱因斯坦(Einstein)都曾获得这个大奖．

　　欧几里得《几何原本》(Elements)第1卷的第5个公设是平行公设：“若两直线和第三直线相交，且在同一侧所成的两个同旁内角之和小于两直角，则这两直线无限延长后必相交于该侧的一点”，实质是说明“在平面上过直线外一点，只能作一条直线与它平行”．但这一公设不象其他公设那样便于在实践中检验，欧氏也只是在证明第29个命题时才用到它，且在此后任何命题中不再引用．一部体系严密的经典著作出现这样文字冗长又非显而易见的公设似乎是个缺陷，从希腊时代到18世纪两千余年间，许多学者试图证明它，然而他们大都不自觉地引用了与第五公设等效的命题，因而使愿望落空．C．托勒密(Ptolemy)、J．沃利斯(Wallis)、G．萨凯里(Saccheri)、M．勒让德(Legendre)等都进行过这种失败的尝试，但也有收获，因为他们弄清了一系列与第五公设等价的命题，其中萨凯里作了最重要的工作，他用间接证法试证第五公设，但犯了一个错误，他把有限图形的性质扩大到无限图形，以为在有限远处不成立的东西在无限远处也不成立，以致步于伟大发现的门边而停步了．1736年G．S．克吕格尔(Kerügel)在他的论文中指出：(1)公理的实质在于经验，而并非不证自明，人们之所以接受欧氏平行公设的真理是基于人们对空间观念的经验；(2)欧氏平行公设的可证明性值得怀疑，萨凯里并没有得出矛盾，他只得到似乎异于经验的结果．对上述提示，T．H．兰伯特(Lambert)作了进一步的研究，认识到一组假设如果不导致矛盾，一定可以提供一种可能的几何．受此影响，F．K．施威卡特(Schawikart)在1818年送交高斯征求意见的备忘录中已区分了两种几何：欧氏几何与假设三角形内角和不是两直角的几何；他的外甥F．A．托里努斯(Taurinus)续续进行研究，在有关著作中叙述了如何用纯粹形式的分析方法展开由锐角假设所导出的几何，他取球半径r=ρi，证明了虚半球面上成立的公式恰好是他所研究的星空几何中的公式．遗憾的是，他认为只有欧氏几何对物质空间才是正确的，而星空几何只是逻辑上无矛眉，他不能想象使锐角假设成立的空间，因而把锐角假设作为一个非实在的东西予以抛弃了．从克吕格尔到托里努斯，这几位学者都已承认第五公设的不可证明性，即第五公设相对于欧氏其他公设是独立的；但他们都没有认识到，就描述物质空间的性质来说，欧氏几何并非是唯一的几何．

　　由于一连串的失败大多出于名家之手，不少人便望而却步，直到19世纪初，仍流行着G．W．F．黑格尔(Hegel)的论点：欧氏几何相当完备，“不可能有更多的进展”，教会保守势力正好利用这点宣扬上帝创造万物是“亘古不变的”．欧氏几何数千年的垄断性的全线突破、非欧几何体系的全面探讨，应归功于高斯、H．И．罗巴切夫斯基(лобачевский)及波尔约，而以后两者为主．

　　波尔约的父亲对欧氏平行公设问题探讨了大半辈子而徒劳无益．1820年，在大学就读的波尔约继承了父亲对平行公设的研究．开始，他也是从正面入手，试图用欧氏其他公设来证明平行公设，结果失败了．其父坚决反对儿子堕入在他看来是前途渺茫的深渊，1820年写信责令儿子必须停止这项研究，信中说：“它将剥夺你所有闲暇、健康、思维的平衡及你一生所有的快乐．这个无底的黑暗或许可以吞吃掉一千个灯塔式的牛顿，这个夜任何时候也不会在大地上光明．”但波尔约并未被如此骇人听闻的言词所吓倒，他一方面深入了解和分析前人的研究过程；另方面又对自己所作研究进行认真的反思．他在与A．脱莱坎(Teleki)伯爵的管家K．悉阿斯(Siasr)的交谈中得到启发，开始用归谬法证明，即从反面来考虑命题，看否定平行公设能否引出与欧氏几何的其他公设或公理相悖的结果．在他不遗余力的严密推理下，不但没有发现任何矛盾，反而推出一系列全新的无矛盾的结论，为此，他断言第五公设是一条独立的公设，若能找到替代此公设的“平行公设”，便可以构成一门独立的新几何．这一别开生面的思想，使他独辟蹊径，构造了“新几何学”，他把它称为绝对几何，后人称为“虚几何”、“双曲几何”或“罗巴切夫斯基几何”，这是一种非欧几何．经过几年的艰苦努力，他于1823年写成了著名论文《空间的绝对几何学》(Appendix explaining theabsolutely true Sácnce ofspace)，时年21岁．11月3日，他兴奋地给父亲发出信函：“我决定出版自己关于平行线的著作，……，我已从乌有创造了另一个全新的世界”，他把手稿寄给父亲，请求父亲帮助出版，其父不相信这么年轻的儿子会有什么成就，更看不到冲破传统观念的束缚对科学发展和造就人才的意义，对儿子研究成果的反映非常冷淡，拒绝协助出版．1825年2月波尔约回家探亲，特地把含有绝对空间理论的这一文稿当面送给父亲看，其父为新几何中依赖于一个任意常数而迷茫，仍不能接受这种几何学．1826年，他把论文的德文抄稿寄给母校的数学老师，请求评审和支持，不幸抄稿遗失了．

　　在波尔约表现出非凡的数学天才之际，其父也于1829年完成了他的《写给好学青年的数学原理》二卷，含三个附录．1831年，经波尔约再三请求，其父才勉强同意将他的论文作为该书的《附录》之一出版，这篇被压缩到24页的的论文，是波尔约一生中发表的唯一成果．1831年6月20日其父写信给高斯，并将儿子《附录》样稿寄给他，想听听他的意见，但高斯没有回信，1832年1月16日又给高斯去信，高斯在3月6日的复信中写道：“关于你儿子的工作，当我一开始便说我不能称赞他时，你一定会感到震惊……，因为称赞他便等于称赞我自己，文章所有内容，你儿子采取的思路、方法以及所达结果，和我在30至35年前已开始的一部分工作完全相同，我真是被这些结果吓住了，……，但我本来就是不愿发表的，……”．信中虽夸奖波尔约是“头等品质的天才”，信的结尾还有注记，其中包括让波尔约确定如何在他的几何里求四面体的体积，但波尔约还是感到心情沉重，他不相信别人比他更早达到同一结果，认定高斯在这个发现上要夺优先权，尽管他后来相信高斯所讲是真话，仍认为高斯没有公开自己的发现是一个错误．由于高斯的那封回信，更由于文章历尽艰辛而出版后却没有引起多少反应，当罗巴切夫斯基独立研究的同样成果发表后，他甚至变得恼怒，以致有一段时间陷于失望而影响了数学工作．1837年，父子两人克服种种困难，参加了由莱比锡加勃罗诺协会(The Jablonow Societyin Leipzig)赞助的关于“虚量的严格几何构造”(The rigorousgeometric construction of imaginary quantities)问题有奖征解数学竞赛，以重振他俩在数学界的威望，但二人的解答因太复杂而落选．后来，波尔约研究过绝对空间中四面体的体积，并在1856年写成一个注记．

　　波尔约一生中的最大成就是独立创建绝对几何．他首先摒弃了欧氏第五公设，建立了绝对空间的概念：在空间的平面上，过直线外一点有一束直线不与原直线相交．当这束直线减少为一条时，该空间就是欧氏空间．他用这一“平行公设”替代了欧氏平行公设，再与欧氏其他公理、公设结合，逻辑地演绎出一系列全新的、彼此相容的命题，建立起非欧几何．它与欧氏几何的主要差别，在于共面不交线这方面．非欧几何中，过定点和定直线共面的不交线有无穷多条；而欧氏几何中，过定点和定直线共面的不交线只有一条．这种非欧几何体系是否存在？用公理化的方法来探讨，即非欧几何体系的整个公理体系是否在逻辑上相容？如何能唯一地确定一个非欧几何体系？波尔约的重大贡献就在于他独立地、成功地解答了上述问题．

　　在本质上，一种几何体系就是空间的一种数理模型，而一个几何体系的“公理体系u2019就是它的一组特征性质，它提供了这个抽象模型的一种简要描述，也是对于这个模型的其他性质探讨的逻辑基础．波尔约的思想方法可描述如下：以Au2032表示两种几何共同的公理集合，以∥E表示欧氏几何的平行公理，∥N表示非欧几何的平行公理，则

　　因为∥E和∥N显然不相容，所以他的非欧公理的合理性也就直观地回答了：∥E不可能是Au2032的逻辑推论．对于∥E的逻辑关系可分为两类：第一类只用Au2032中的公理就能推导出来，这显然是两种几何所共有的；第二类是只在欧氏几何中成立而在他创立的新几何中不成立的性质，这显然依赖于∥E．他精辟地分析了Au2032的各种逻辑推理，研究了这些基本性质和∥E之间的逻辑关系，建立起一系列深刻的定理．在对于共面不交线与平行线的的讨论上，他特别细心地分成∥E和∥N两种不同情况，指明只有与∥E有关的命题，两种几何才有完全不同的内容．他的几何与欧氏几何相比，主要有三个新内容：(1)“平行”是具有方向性的；(2)三角形内角和小于二直角，且其内角和可以任意小；(3)三种线束模型——平行线束(同向)、共点线束、超平行线束(同垂直于一直线)．由于他指明的平行线意义和条数与欧氏几何的根本差异，在他创立的新几何中审定了如下主要结论：(1)平行线的不变性；(2)平行线的对称性；(3)平行线的传递性；(4)由Au2032可推出，过直线l的线外定点p，恒存在至少一条和l共面的不交线；(5)两平行线在平行方向无限接近，在相反方向则无限远离；(6)同一直线的垂线与斜线不一定相交，因此过不共线三点不一定可作圆；(7)共面不交的两直线被第三直线所截，同位角(或内错角)不一定相等；(8)两三角形若有三内角对应相等，则两三角形必全等(即不存在相似而不全等的三角形)；(9)萨凯里四边形的上底角小于直角，这说明非欧平面上不存在矩形；(10)非欧几何中存在“绝对的长度单位”．

　　波尔约非欧几何与欧氏几何的差异，突出地表现在三角形内角和方面．他由Au2032导出三角形的内角和小于两直角2d，且内角和随此三角形面积的增大而减小，当面积趋近于零时，它趋近于2d．更确切地说，有

　　其中K是取定的一正常数，差2d-(∠A+∠B+∠C)称为△ABC的“亏值“．上式表明，三角形的面积与这三角形的亏值成正比，易见当S△ABC增大时，亏值亦增大，从而内角和减小．公式(1)与球面三角形的面积公式

　　S△ABC=R2(A+B+C-π) (2)

　　波尔约在绝对三角和球面三角方面也做了不少出色的工作．例如：

　　(1)由Au2032推出波尔约正弦定律：对于任意△ABC，有

　　其中a，b，c分别表示∠A，∠B，∠C的对边之长，而⊙a，⊙b，⊙c分别表示以a，b，c为半径的圆周长．他给出了这一定律的逻辑证明．

　　(2)给出⊙r(半径为r的圆周长)在三种几何中的表达式：

　　(3)给出了三种几何中的余弦定理

　　显然，在球面、非欧的情形，上述公式只是K=1时的特殊情形．他公式，所以非欧平面与半径为纯虚数的球面是相似的几何对象．这种正确的认识深化了非欧几何的研究，并推动了球面几何学的发展．

　　波尔约的几何与罗氏几何在原理上非常相似，尽管他们的论文形式很不相同．后来，B．黎曼(Riemann)又发展了他们的思想，1854年在哥丁根大学的讲演中提出了另一种非欧几何，这种理论在他生前也未得到应有的评价．

　　非欧几何最终被人们所承认是其创造者死后的事情．波尔约作为《附录》的论文原为拉丁文，1867年译成法文，1868年译成意大利文，1872年译成德文，1891年译成英文．意大利数学家 E．贝尔特拉米(Beltremi)在1868年的论著中又用微分几何的理论作出了非欧几何的模型，证明了只要欧氏几何学没有矛盾，则非欧几何学也没有矛盾；德国数学家 F．克莱因(Klein)在1871年首次认识到从射影几何中可推导度量几何，并建立了非欧平面几何(整体)的模型；希尔伯特给出欧氏几何学完备的公理体系，证明了平行公理对其他公理是独立的，因而明确了非欧几何学成立的逻辑基础；爱因斯坦根据相对论证明了把我们所在的时空看作非欧空间的合理性，所以非欧空间对于空间型的问题也非常有用．这些研究最终使非欧几何获得了普遍的承认和应用，打破了欧氏几何的一统天下，从根本上革新了人们的几何学观念．非欧几何对于20世纪初关于空间和时间的物理观念的变革也起了重要作用，非欧几何首先提出了弯曲空间，它为更广泛的黎曼几何的产生创造了前提，而黎曼几何后来成了爱因斯坦广义相对论的数学工具，人们在广义相对论的基础上研究了宇宙的结构，认识到宇宙结构的几何学是接近于非欧几何的．在天体大范围观测和原子论微观世界中有效的应用，充分显示非欧几何的创立有重大的哲学价值和划时代的意义．

　　波尔约创立非欧几何的功劳是不可磨灭的．非欧几何被后世誉为“19世纪最有启发性、最重要的数学成就”．它与这一时期创立的近世代数一起，改变了人们处理数学问题的观点和方法，迎来了数学发展的新时代．